正态分布，又称为高斯分布，是统计学中最基础且最重要的分布之一。它广泛应用于自然和社会科学领域，描述了许多随机变量在真实世界中的分布情况。在这篇文章中，我们将详细讲解正态分布的计算公式，并帮助你轻松掌握统计学核心技能。
正态分布的定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数（PDF）具有以下特点：
- 对称性：正态分布是关于均值对称的。
- 单峰性：正态分布只有一个峰值，即均值。
- 有限性：正态分布的值域在负无穷到正无穷之间。
正态分布的图形特征
正态分布的图形呈钟形，其高度和宽度由两个参数决定：均值（μ）和标准差（σ）。
- 均值（μ）：正态分布的中心位置，即图形的最高点。
- 标准差（σ）：正态分布的宽度，描述了数据的离散程度。
正态分布的概率密度函数
正态分布的概率密度函数（PDF）如下所示：
\[ f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
其中：
- \( x \) 是随机变量。
- \( \mu \) 是均值。
- \( \sigma^2 \) 是方差。
- \( \pi \) 是圆周率（约等于3.14159）。
正态分布的计算公式
均值（μ）：正态分布的均值即为分布的中心位置，表示为 \( \mu \)。
标准差（σ）：正态分布的标准差表示为 \( \sigma \)，计算公式如下：
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n}} \]
其中：
- \( x_i \) 是样本数据。
- \( n \) 是样本数量。
概率密度函数（PDF）：正态分布的概率密度函数（PDF）如上所述。
累积分布函数（CDF）：正态分布的累积分布函数（CDF）表示为 \( F(x|\mu,\sigma^2) \)，计算公式如下：
\[ F(x|\mu,\sigma^2) = \int_{-\infty}^{x} f(t|\mu,\sigma^2) dt \]
应用实例
假设某班级学生的身高服从正态分布，均值为165cm，标准差为5cm。现在，我们要计算身高在160cm至170cm之间的概率。
- 首先，将身高值转换为标准正态分布的Z值：
\[ Z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]
对于160cm：
\[ Z_1 = \frac{160 - 165}{5} = -1 \]
对于170cm：
\[ Z_2 = \frac{170 - 165}{5} = 1 \]
- 查找标准正态分布表，得到Z值为-1和1时的累积概率：
\[ P(Z < -1) = 0.1587 \]
\[ P(Z < 1) = 0.8413 \]
- 计算身高在160cm至170cm之间的概率：
\[ P(160cm < X < 170cm) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 \]
总结
通过本文的讲解，相信你已经对正态分布的计算公式有了深入的了解。正态分布是统计学中一个非常重要的概念，掌握其计算方法将有助于你在实际应用中更好地分析数据。希望这篇文章能帮助你轻松掌握统计学核心技能。