数学一作为考研数学的重要组成部分，其选择题的难度和深度一直是考生关注的焦点。在2022年的数学一真题中，选择题的第一题引起了广泛讨论，许多考生对其答案存在疑点。本文将针对这一题目进行详细解析，帮助考生理解解题思路，明确正确答案。
题目回顾
题目：设函数\(f(x) = \ln(x+1) - \sqrt{x}\)，其中\(x > -1\)。若\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = a\)，则\(a\)的值为：
A. \(0\) B. \(\frac{1}{2}\) C. \(1\) D. \(2\)
解题思路
首先，我们需要理解题目中给出的函数\(f(x)\)，并确定其定义域。根据题目，\(f(x) = \ln(x+1) - \sqrt{x}\)，其中\(x > -1\)。因此，\(x\)的取值范围是\((-1, +\infty)\)。
接下来，我们需要求解极限\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}\)。这是一个典型的“\(\frac{0}{0}\)型”未定式，我们可以通过洛必达法则或者等价无穷小替换来求解。
方法一：洛必达法则
根据洛必达法则，当极限形式为“\(\frac{0}{0}\)型”或“\(\frac{\infty}{\infty}\)型”时，可以对分子和分母同时求导，然后再求极限。
对\(f(x)\)和\(x\)分别求导，得到： $\(f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\)\( \)\(x' = 1\)$
将导数代入极限表达式中，得到： $\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{1} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)$
当\(x \to 0\)时，\(\frac{1}{x+1} \to 1\)，\(\frac{1}{2\sqrt{x}} \to \infty\)。因此，极限不存在。
方法二：等价无穷小替换
由于极限形式为“\(\frac{0}{0}\)型”，我们可以将\(f(x)\)和\(x\)分别用等价无穷小替换。
\[f(x) = \ln(x+1) - \sqrt{x} \approx \ln(1 + x) - x^{\frac{1}{2}} \approx x - x^{\frac{1}{2}}\]
因此，原极限可以表示为： $\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - x^{\frac{1}{2}}}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 - x^{\frac{1}{2}}\right) = 1\)$
正确答案
根据以上两种方法的解析，我们可以得出结论：\(a = 1\)。因此，正确答案为C。
总结
2022年数学一选择题第一题的解析过程涉及了洛必达法则和等价无穷小替换等知识点。通过对这一题目的解析，我们可以更好地理解极限的计算方法，并提高解题能力。希望本文对考生有所帮助。